四分位数简介

定义

四分位数也称四分位点，是指在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值。多应用于统计学中的箱线图绘制。它是一组数据排序后处于25%和75%位置上的值。四分位数是通过3个点将全部数据等分为4部分，其中每部分包含25%的数据。很显然，中间的四分位数就是中位数，因此通常所说的四分位数是指处在25%位置上的数值（称为下四分位数）和处在75%位置上的数值（称为上四分位数）。与中位数的计算方法类似，根据未分组数据计算四分位数时，首先对数据进行排序，然后确定四分位数所在的位置，该位置上的数值就是四分位数。与中位数不同的是，四分位数位置的确定方法有几种，每种方法得到的结果会有一定差异，但差异不会很大。

第一四分位数 （Q1），又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。

第二四分位数 （Q2），又称“中位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。

第三四分位数 （Q3），又称“较大四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range，IQR）。

计算

首先确定四分位数的位置：

Q1的位置= （n+1） × 0.25

Q2的位置= （n+1） × 0.5

Q3的位置= （n+1） × 0.75

n表示项数。

在上例中（n+1）恰好是4的整数倍，但在很多实际工作中不一定都是整数倍。这样四分位数的位置就带有小数，需要进一步研究。带有小数的位置与位置前后标志值有一定的关系：四分位数是与该小数相邻的两个整数位置上的标志值的平均数，权数的大小取决于两个整数位置的远近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，权数之和应等于1。

对于四分位数的确定，有不同的方法，另外一种方法基于N-1 基础。即

Q1的位置=1+（n-1）x 0.25

Q2的位置=1+（n-1）x 0.5

Q3的位置=1+（n-1）x 0.75

应用

不论Q1，Q2，Q3的变异量数数值为何，均视为一个分界点，以此将总数分成四个相等部份，可以通过Q1，Q3比较，分析其数据变量的趋势。

四分位数在统计学中的箱线图绘制方面应用也很广泛。所谓箱线图就是 由一组数据5 个特征绘制的一个箱子和两条线段的图形，这种直观的箱线图不仅能反映出一组数据的分布特征，而且还可以进行多组数据的分析比较。这五个特征值，即数据的最大值、最小值、中位数和两个四分位数。即：